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　　数的整除

　　难度：★★★★

　　某些数除以 11余 1，除以 13余 3，除以 15余 13，那么这些数中最小的数是_______．

　　【答案】

　　设这个数为M,所以M=11x+1=13y+3=15z+13,其中x、y、z都是自然数；所以11x=11y+2y+2=11z+4z+11+1,即：
也就是y+1和4z+1都能够被11整除；其中满足条件的y最小为10
　　当y=10时，x=12,z=8也满足条件
　　所以满足题意的最小的数为13×10+3=133

　　难度：★★★★★

　　在自然数 1—2011中，最多可以取出________个数，使得这些数中任意四个数的和都不能被 11整除。

　　【答案】

　　分析这任意这个数不能被11整除的情况，其中余数为1和2的肯定全部都满足条件（因为2+2+2+2=8<11），那么2011÷11=182...9，所以得出1-2011中，余数是1和2的数有182×2+2=366个；
另外分析余数是3的情况，最多允许有2个，因为当有3个余数为3的情况时，有3+3+3+2=1能被11整除，不满足情况，所以余数为3的数最多只能有2个；最后考虑能够被11整除的数，最多只能有3个，因为超过4个话就有整除的情况发生；综上所述：最多可以取出满足条件的数有366+3+2=371个。