回文数

　　这种数类似25 452，从前往后读与从后往前读皆相同，所以称为回文数(palindromic numbers)．

　　不要将一位数包括在内，最小的回文质数与最小的回文平方数是多少？其他还有多少小于1000的回文平方数？

　　在100与200之间有5个回文质数，它们是多少？在400与700之间为何没有回文质数？试证明在1 000与2 000之间的所有回文数有公因数．

　　过剩数、完全数与亏损数

　　考虑8这个数．其因数除8外，还有1、2、4，其和为7，小于8．因此之故，希腊数学家将8归类为过剩数(excessive number)．再如18这个数，其因数为1、2、3、6、9，和为21，所以是一种亏损数(defective number)．

　　有些数具有非常特殊的性质，能等于其因数之和．例如6，其因数为1、 2、 3．希腊人将这些数称为完全数(perfect num-ber)．

　　(1)将小于30的数以这3种性质分类．

　　(2)完全数相当少，且间隔很远．欧几里德证明当2n-1为质数时，任何形式为

　　2n-1(2n-1)

　　的数皆为完全数．

　　试找出使2n-1为质数的n值，以找到万博体育app：的完全数．

　　互满数

　　有一些成对的数具有相当奇妙的关联性，也就是其中一个数的因数和会等于另一个数．因这种两数之间存在“互利共生”的现象，数学家将它们命名为互满数(amicable pairs)．

　　最小的一对互满数为220与284．

　　220：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

　　284：1+2+4+71+142=220

　　欧拉在研究过这种数之后，在1750年给出了60对互满数．但令人惊讶的是，他漏掉了第二小的一对，即1 184与1 210．直到1866年，才由一位16岁少年帕格尼尼(Paganini)发现了它们．试找出1 184与1 210的因数，并检验其密切的关联性．